С юных лет увлекся театром и музыкой. В 1984 году он окончил Киевский государственный институт театрального искусства имени И.К.Крапенко-Карого, где занимался в мастерской Константина Степанкова. В 1984-1995 году Алексей Горбунов работал в Театре-студии киноактера киностудии имени А.Довженко. Затем актер играл в Камерном театре М. Нестантинера, организовал и вел в Киеве дискотеки "Джанкой" и "Джуманджи". На украинском телевидении был ведущим программы "Ночной будильник", работал ди-джеем на киевских радиостанциях. В Москве Алексей Горбунов с успехом играл в постановках Олега Меньшикова - "Игроки" (Швохнев) и "Кухня" (Хаген Карлович). В кино актер дебютировал в 1984 году, исполнив главную роль, инспектора таможни, в приключенческом фильме Владимира Попкова "Груз без маркировки". Среди последовавших заметных фильмов с его участием можно назвать ленты "Филер" (1987), "Гу-га" (1989), "Яма" (1990), "Золото партии" (1993). Широкую известность Алексею Горбунову принесла роль шута Шико в телесериале по роману А.Дюма "Графиня де Монсоро" (1997), поставленном Владимиром Поповым. И в дальнейшем актер продолжал много играть в различных телевизионных фильмах: "День рождения Буржуя", "Каменская", "След оборотня", "Линии судьбы", "Лучший город Земли", "Красная капелла".