Мориц - сын актера Ханса Бреннера, он оставил семью, когда Морицу было 2 года. Этот факт стал причиной того, что Морицу пришлось с малых лет проявлять самостоятельность, в 11 классе он оставил школу и уехал в Париж работать. В 19 лет он уехал в Нью-Йорк, потом, влюбившись в итальянку, переехал в Рим, потом в Венецию. В каждом городе он брал уроки актерского мастерства.
В 21 год Мориц дебютировал на театральной сцене. В 1993 году он становится достаточно узнаваемым в кино и на телефизионном экране, он уже принял участе в съемках фильмов «Neues aus Uhlenbusch» и «Ich hatte einen Traum». При этом сотрудничал с известными немецкими кинорежиссерами.
В течении нескольких лет снимался в различных телевизионных постановках, а кинематографический дебют состоялся в 1994 году в фильме "Einfach nur Liebe" (режиссер - Питер Тимм). Первый заметный успех пришел к нему с фильмом "Городские беседы" (1995) режиссера Райнера Коффмана, после которого Бляйбтрой был объявлен "открытием нового германского кино". Спустя два года, Морис вновь доказал на деле свой актерский талант, снявшись в криминально-комедийной картине Томаса Яна "Достучаться до небес" (1997). В 1997 году Мориц получает за эту роль Rolle den Lubitsch-Preis . Но настоящая слава ждала актера после выхода на экраны "Беги, Лола, беги" (1998) режиссера Тома Тыквера, ставшего самым популярным немецким фильмом последнего десятилетия уходящего века. Среди работ последних лет - комедийная драма "Лунный папа" (1999, реж. Бахтиер Худойназаров), "В июле" (2000, реж. Фати Акин) и триллер "Эксперимент" (2001, реж. Оливер Хиршбигель) - лидер германского кинопроката 2001 года.